Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{c + k e^{c}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{c + k e^{c}}$ como ${(c + k e^{c})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d c} [{(c + k e^{c})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = c^{- 1}$ e $g (c) = c + k e^{c}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $c + k e^{c}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $c + k e^{c}$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c + k e^{c}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}]$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

Etapa 3.3

Como $k$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $k e^{c}$ em relação a $c$ é $k \frac{d}{d c} [e^{c}]$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d c} [e^{c}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d c} [a^{c}]$ é $a^{c} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k e^{c})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$ .

$- (1 + k e^{c}) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1 - k e^{c}$ por $\frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- k e^{c}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (k e^{c})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Etapa 5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$