Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 a x}$ como ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 a x$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (a x)$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Como $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $a$ é $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.4.2

Multiplique os expoentes em ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ e $g (a) = a x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 8

Combine ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 9

Mova ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

Etapa 10

Multiplique $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11

Multiplique $2^{\frac{1}{2}}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 11.5

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Etapa 12

Como $x$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $a x$ em relação a $a$ é $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

Etapa 13

Combine $x$ e $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Etapa 15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a regra do produto a $a x$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 16.2

Combine os termos.

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Etapa 16.2.1

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Etapa 16.2.2

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.2.1

Mova $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 16.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Etapa 16.2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 16.2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 16.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Etapa 16.2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Etapa 16.2.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$