Cálculo Exemplos

$\log_{b} (18)$

Etapa 1

Reescreva $\log_{b} (18)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 1.1

The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d b} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Etapa 1.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = e$ .

$\frac{d}{d b} [\frac{\ln (18)}{\ln (b)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $\ln (18)$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $\frac{\ln (18)}{\ln (b)}$ em relação a $b$ é $\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{\ln (b)}$ como $\ln^{- 1} (b)$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\ln^{- 1} (b)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ é $f' (g (b)) g' (b)$ , em que $f (b) = b^{- 1}$ e $g (b) = \ln (b)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (b)$ .

$\ln (18) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\ln (18) (- u^{- 2} \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (b)$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Etapa 4

A derivada de $\ln (b)$ em relação a $b$ é $\frac{1}{b}$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{1}{b})$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{b}$ e $\ln^{- 2} (b)$ .

$\ln (18) (- \frac{\ln^{- 2} (b)}{b})$

Etapa 5.2

Mova $\ln^{- 2} (b)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (18) (- \frac{1}{b \ln^{2} (b)})$

Etapa 5.3

Combine $\ln (18)$ e $\frac{1}{b \ln^{2} (b)}$ .

$- \frac{\ln (18)}{b \ln^{2} (b)}$