Cálculo Exemplos

$x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $x^{2} - x - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{1}{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 3.5.2

Some $2 + \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 5.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Etapa 6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1, 1$

Etapa 6.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 6.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 6.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Etapa 6.4

Resolva a equação.

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Etapa 6.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Reordene os termos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Etapa 6.4.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 6.4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 6.4.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 6.4.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1} + 2$

Etapa 10.1.2

Divida $1$ por $1$ .

$1 + 2$

Etapa 10.2

Some $1$ e $2$ .

$3$

Etapa 11

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Etapa 12.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Etapa 12.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ é um mínimo local

Etapa 14