Cálculo Exemplos

$z (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 2}{t + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 5 t + 2$ e $g (t) = t + 9$ .

$\frac{(t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t + 2] - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 5 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 t + 5$ e $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + 0)}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \cdot 1}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2)}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(t + 9) (2 t + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (2 t + 5) + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $9$ por $5$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $5 t$ e $18 t$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 23 t + 45 - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $5 t$ de $23 t$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 45 - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $2$ de $45$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 43}{{(t + 9)}^{2}}$