Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

Etapa 1

Reescreva $x^{5} e^{- x^{4}}$ como $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente $x^{4}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{4}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reordene os fatores de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Reordene os fatores em $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.1

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3} e^{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{5}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Etapa 4.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Etapa 4.1.3

Como o expoente $x^{4}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{4}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Reordene os fatores de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Etapa 4.3.5.2

Reordene os fatores em $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Etapa 7.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{5}{16} \cdot 0$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{5}{16}$ por $0$ .

$0$