Cálculo Exemplos

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Etapa 1

Como $r$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ em relação a $n$ é $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ é $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ , em que $f (n) = n$ e $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $1 + (n - 1) r$ por $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + (n - 1) r$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $1$ em relação a $n$ é $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $r$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $(n - 1) r$ em relação a $n$ é $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n - 1$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $- 1$ em relação a $n$ é $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.10

Combine frações.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 3.10.3

Combine $r$ e $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Combine os termos opostos em $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

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Etapa 4.4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $r (n r)$ e $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Subtraia $n r \cdot r$ de $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Some $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ e $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $r$ por $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.3

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.2.3.1

Mova $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.3.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Etapa 4.6

Reordene os termos.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $r$ de $- r^{2} + r$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $r$ de $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.3

Fatore $r$ de $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.4

Fatore $r$ de $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (r - 1)$ como $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$