Cálculo Exemplos

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $p$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.2

Combine $\frac{p \cdot 4}{3}$ e ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.3

Mova $4$ para a esquerda de $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.4

Como $\frac{4 p}{3}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ em relação a $r$ é $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ é $f' (g (r)) g' (r)$ , em que $f (r) = r^{3}$ e $g (r) = r + h$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r + h$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.8

Como $h$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $h$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.9

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.11

Combine $3$ e $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.12

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.13

Combine $\frac{12 p}{3}$ e ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.14

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

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Etapa 2.14.1

Fatore $3$ de $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 2.14.2.4

Divida $4 p {(r + h)}^{2}$ por $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

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Etapa 3.1

Combine $p$ e $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Etapa 3.2

Combine $r^{3}$ e $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Etapa 3.3

Mova $4$ para a esquerda de $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Etapa 3.4

Mova $4$ para a esquerda de $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Etapa 3.5

Como $- \frac{4 p}{3}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ em relação a $r$ é $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Etapa 3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Etapa 3.8

Combine $- 3$ e $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Etapa 3.9

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Etapa 3.10

Combine $\frac{- 12 p}{3}$ e $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Etapa 3.11

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

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Etapa 3.11.1

Fatore $3$ de $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Etapa 3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Etapa 3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Etapa 3.11.2.4

Divida $- 4 p r^{2}$ por $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva ${(r + h)}^{2}$ como $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.2

Expanda $(r + h) (r + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.3.2

Some $r h$ e $h r$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Reordene $r$ e $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $h r$ e $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Etapa 4.2.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

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Etapa 4.3.1

Reorganize os fatores nos termos $4 p r^{2}$ e $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Etapa 4.3.2

Subtraia $4 r^{2} p$ de $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Etapa 4.3.3

Some $8 p h r + 4 p h^{2}$ e $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$