Cálculo Exemplos

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ em relação a $r$ é $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ .

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ é $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , em que $f (r) = 3 r + 1$ e $g (r) = r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 r + 1$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $3 r$ em relação a $r$ é $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $1$ em relação a $r$ é $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r^{2} + r + 2$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.10

Como $2$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $2$ em relação a $r$ é $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.11

Combine frações.

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Etapa 3.11.1

Some $2 r + 1$ e $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Combine $5$ e $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Multiplique $5 (3 \cdot 2)$ .

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Etapa 4.4.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3.2

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Expanda $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.2

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.6.1.2.1

Mova $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.2.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6.2

Subtraia $2 r$ de $- 3 r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8

Simplifique.

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Etapa 4.4.1.8.1

Multiplique $- 6$ por $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $30 r^{2}$ de $15 r^{2}$ .

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Subtraia $25 r$ de $15 r$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.4

Subtraia $5$ de $30$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Fatore $5$ de $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ .

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Etapa 4.5.1.1

Fatore $5$ de $- 15 r^{2}$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.1.2

Fatore $5$ de $- 10 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.1.3

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.1.4

Fatore $5$ de $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.1.5

Fatore $5$ de $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 4.5.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- r + 1$ .

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- r$ .

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- (r - 1)$ como $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reordene os fatores em $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$