Cálculo Exemplos

$y = (r^{2} - 2 r) e^{r}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ é $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , em que $f (r) = r^{2} - 2 r$ e $g (r) = e^{r}$ .

$(r^{2} - 2 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ é $a^{r} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r^{2} - 2 r$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 2 r$ em relação a $r$ é $- 2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \frac{d}{d r} [r])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 2$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 2 \cdot e^{r}$

Etapa 4.3.2

Some $- 2 r e^{r}$ e $e^{r} (2 r)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + 2 r e^{r} - 2 e^{r}$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 2 r e^{r}$ e $2 r e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} + 0 - 2 e^{r}$

Etapa 4.3.3

Some $r^{2} e^{r}$ e $0$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$