Cálculo Exemplos

$\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $10000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ em relação a $t$ é $10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$ .

$10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ como ${(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}$ .

$10000 \frac{d}{d t} [{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

$10000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$10000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

$10000 (- {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$- 10000 ({(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 3.3

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 e^{- 0.2 t}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Etapa 3.6

Multiplique $4$ por $- 10000$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.2 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 0.2 t$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 0.2 t$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 0.2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.2 t$ em relação a $t$ é $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2

Multiplique $- 0.2$ por $- 40000$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $e^{- 0.2 t}$ por $1$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$ .

$8000 e^{- 0.2 t} {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ .

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ e $8000$ .

$\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}} e^{- 0.2 t}$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.2 t}$ .

$\frac{8000 e^{- 0.2 t}}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$