Cálculo Exemplos

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = 3 t - 1$ e $g (t) = t^{2} + 5 t$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2} + 5 t$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 5 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Expanda $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.4

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.5

Multiplique $2 t$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Some $- 15 t$ e $2 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $13 t$ de $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- t - 1$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $t$ de $t^{2} + 5 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $t$ de $5 t$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $t$ de $t \cdot t + t \cdot 5$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Aplique a regra do produto a $t (t + 5)$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$