Cálculo Exemplos

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

Etapa 1

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 2 t^{2} + 25$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $2 t^{2} + 25$ por $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $4 t$ e $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 8

Subtraia $4 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 9

Combine $500$ e $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 2$ por $500$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $500$ por $25$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.3

Fatore $500$ de $- 1000 t^{2} + 12500$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $500$ de $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.3.2

Fatore $500$ de $12500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.3.3

Fatore $500$ de $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.4

Fatore $- 1$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.5

Reescreva $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.6

Fatore $- 1$ de $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.7

Reescreva $- (2 t^{2} - 25)$ como $- 1 (2 t^{2} - 25)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 10.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$