Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \cos (t)$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Etapa 9.2.1.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.4

Fatore $- 1$ de $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.5

Reorganize os termos.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3

Combine os termos.

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Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $\cos (t) - 1$ e ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

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Etapa 9.3.1.1

Fatore $- 1$ de $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.5

Fatore $1 - \cos (t)$ de $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.1.6.1

Fatore $1 - \cos (t)$ de ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Etapa 9.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Etapa 9.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Etapa 9.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$