Cálculo Exemplos

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 7 + t^{2}$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $7 + t^{2}$ por $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 7

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$