Cálculo Exemplos

$\frac{t^{2}}{2 t^{3} + 27}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2 t^{3} + 27$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 t^{3} + 27$ .

$\frac{2 \cdot (2 t^{3} + 27) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{3} + 27$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{3}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $27$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $27$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + 0)}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $6 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2} t^{2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 (t^{2} t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2 + 2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (2 t^{3}) + 2 \cdot 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 t^{3}) t + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $t^{3}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique $t$ por $t^{3}$ .

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Etapa 4.3.1.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (2 (t^{1} t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 t^{1 + 3}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 (2 t^{4}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{4} + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{4 t^{4} + 54 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6 t^{4}$ de $4 t^{4}$ .

$\frac{- 2 t^{4} + 54 t}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$