Cálculo Exemplos

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 8 t - 7$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 t - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 t$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.7

Some $8$ e $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 2.8

Multiplique $8$ por $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 8 t + 7$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 t + 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Etapa 3.3

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 t$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Etapa 3.5

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7$ em relação a $t$ é $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Etapa 3.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Etapa 3.7

Some $8$ e $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Etapa 3.8

Multiplique $8$ por $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $32$ de $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $32$ de $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Fatore $32$ de $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.1.3

Fatore $32$ de $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Use o teorema binomial.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra do produto a $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a regra do produto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $64$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.6

Multiplique $- 7$ por $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.7

Multiplique $8$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.8

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.9

Multiplique $49$ por $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.2.10

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Etapa 4.2.3

Use o teorema binomial.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.4.1

Aplique a regra do produto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.3

Aplique a regra do produto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.5

Multiplique $64$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.6

Multiplique $7$ por $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.7

Multiplique $8$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.8

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.9

Multiplique $49$ por $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Etapa 4.2.4.10

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

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Etapa 4.3.1

Some $- 1344 t^{2}$ e $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Etapa 4.3.2

Some $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ e $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Etapa 4.3.3

Some $- 343$ e $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Etapa 4.3.4

Some $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ e $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Etapa 4.4

Some $512 t^{3}$ e $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Etapa 4.5

Some $1176 t$ e $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Etapa 4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Etapa 4.7

Multiplique $1024$ por $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Etapa 4.8

Multiplique $2352$ por $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$