Cálculo Exemplos

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(1 - t)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = - 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ e $g (t) = {(1 - t)}^{2}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{({(1 - t)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - t)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.6

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{2}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.9

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4 t$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \frac{d}{d t} [t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \cdot 1) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 2.11

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 1 - t$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 u \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 (1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 4.2

Fatore $1 - t$ de ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $1 - t$ de ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $1 - t$ de $- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 4.2.3

Fatore $1 - t$ de $(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $1 - t$ de ${(1 - t)}^{4}$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 8

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \cdot 1}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

Expanda $(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{1 (- 6 t^{2}) + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.2.1

Multiplique $- 6 t^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.2

Multiplique $10 t$ por $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t \cdot t^{2} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.5

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.1.2.5.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.5.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 13.2.1.2.5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t^{1}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{2 + 1} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t \cdot t - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.8

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.1.2.8.1

Mova $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 (t \cdot t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.8.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2.10

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.3

Subtraia $10 t^{2}$ de $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.4

Some $10 t$ e $4 t$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.7

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Some $- 16 t^{2}$ e $10 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.3

Subtraia $8 t$ de $14 t$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.2.4

Subtraia $4 t^{3}$ de $6 t^{3}$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 2 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$\frac{2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4

Fatore $2$ de $2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4$ .

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Etapa 13.4.1

Fatore $2$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{2 (t^{3}) - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.2

Fatore $2$ de $- 6 t^{2}$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.3

Fatore $2$ de $6 t$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.4

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.5

Fatore $2$ de $2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2})$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.6

Fatore $2$ de $2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t)$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Etapa 13.4.7

Fatore $2$ de $2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$