Cálculo Exemplos

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{4} t^{2}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.4

Combine $\frac{2}{4}$ e $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \ln (t + 1)$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{t + 1}$ por $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Para escrever $\frac{t}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Etapa 4.2

Para escrever $- \frac{1}{t + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (t + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{t}{2}$ por $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{1}{t + 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Etapa 4.3.3

Reordene os fatores de $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$