Cálculo Exemplos

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 t - 4)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 5 t^{3} + t^{2}$ e $g (t) = 2 t - 4$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \frac{d}{d t} [2 t - 4] + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + 0) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \cdot 2 + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 t^{3} + t^{2}$ .

$2 \cdot (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{3} + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 2.8

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{3}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $5$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $15$ por $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t \cdot t^{2} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1

Mova $t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 3.5.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t^{1}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{2 + 1} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $15$ por $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t \cdot t - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.6

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t^{1}) - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{1 + 1} - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.9

Some $1$ e $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 4 (2 t)$

Etapa 3.5.10

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t$

Etapa 3.5.11

Some $- 60 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 56 t^{2} - 8 t$

Etapa 3.5.12

Some $10 t^{3}$ e $30 t^{3}$ .

$40 t^{3} + 2 t^{2} - 56 t^{2} - 8 t$

Etapa 3.5.13

Subtraia $56 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$40 t^{3} - 54 t^{2} - 8 t$