Cálculo Exemplos

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ e $g (t) = 6000 + 500 t + 10 t^{2}$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) \frac{d}{d t} [6000 + 500 t + 10 t^{2}] + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6000 + 500 t + 10 t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.2

Como $6000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6000$ em relação a $t$ é $0$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.4

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $500 t$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.6

Multiplique $500$ por $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.7

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t^{2}$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 (2 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $10$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.11

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.12

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.13

Como $0.2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.2 t$ em relação a $t$ é $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.15

Multiplique $0.2$ por $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Etapa 2.16

Como $0.01$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.01 t^{2}$ em relação a $t$ é $0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 2.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 (2 t))$

Etapa 2.18

Multiplique $2$ por $0.01$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $1$ de $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $1$ de $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Etapa 3.1.2

Fatore $1$ de $(6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

Etapa 3.2

Multiplique $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ por $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Expanda $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$10 \cdot 500 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $10$ por $500$ .

$5000 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $20$ por $10$ .

$5000 + 200 t + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $500$ por $0.2$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t \cdot t + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.5.1

Mova $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 (t \cdot t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.6

Multiplique $0.2$ por $20$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.7

Multiplique $500$ por $0.01$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{2} t + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.9

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.9.1

Mova $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t \cdot t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.9.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.9.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t^{1} t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{1 + 2} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.9.3

Some $1$ e $2$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.2.10

Multiplique $0.01$ por $20$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.3

Some $200 t$ e $100 t$ .

$5000 + 300 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.4

Some $4 t^{2}$ e $5 t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Etapa 3.4.5

Expanda $(0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 0.2 \cdot 6000 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Multiplique $0.2$ por $6000$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $500$ por $0.2$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $10$ por $0.2$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.4

Multiplique $6000$ por $0.02$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t \cdot t + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.6.1

Mova $t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 (t \cdot t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.7

Multiplique $0.02$ por $500$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

Etapa 3.4.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t \cdot t^{2}$

Etapa 3.4.6.9

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.9.1

Mova $t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t)$

Etapa 3.4.6.9.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.9.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t^{1})$

Etapa 3.4.6.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{2 + 1}$

Etapa 3.4.6.9.3

Some $2$ e $1$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{3}$

Etapa 3.4.6.10

Multiplique $0.02$ por $10$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.4.7

Some $100 t$ e $120 t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 2 t^{2} + 220 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.4.8

Some $2 t^{2}$ e $10 t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.5

Some $5000$ e $1200$ .

$300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.6

Some $300 t$ e $220 t$ .

$9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 520 t + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.7

Some $9 t^{2}$ e $12 t^{2}$ .

$21 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 520 t + 0.2 t^{3}$

Etapa 3.8

Some $0.2 t^{3}$ e $0.2 t^{3}$ .

$21 t^{2} + 0.4 t^{3} + 6200 + 520 t$