Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\ln (2 x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\ln (2 x)}$ como ${\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.6.3

Mova ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.7.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x (2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.8.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.8.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.8.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.8.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.9.1

Fatore $2$ de $4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.11

Multiplique $\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$