Cálculo Exemplos

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 7})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

Etapa 2

Combine $2$ e $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{8} + 7$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{(t^{8} + 7) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{(t^{8} + 7) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{8} + 7$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{8} + 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [7])}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [7])}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $8 t^{7}$ e $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 5

Multiplique $t^{3}$ por $t^{7}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 5.3

Some $7$ e $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7}$ por $\frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 7) {(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $t^{8} + 7$ por ${(t^{8} + 7)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Multiplique $t^{8} + 7$ por ${(t^{8} + 7)}^{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Eleve $t^{8} + 7$ à potência de $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{1} {(t^{8} + 7)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{1 + 2}}$

Etapa 7.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 7 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1

Multiplique $t^{3}$ por $t^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.1.1

Mova $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.1.3

Some $8$ e $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3

Multiplique $t^{11}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.3.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3.3

Some $2$ e $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.6.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.7

Multiplique $2 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Etapa 8.4.1.7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 7 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.7.2

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9

Multiplique $t^{3}$ por $t^{10}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.9.1

Mova $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9.3

Some $10$ e $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.10

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.4.2

Subtraia $16 t^{13}$ de $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 42 t^{5}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.5

Fatore $2 t^{5}$ de $- 10 t^{13} + 42 t^{5}$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $2 t^{5}$ de $- 10 t^{13}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 42 t^{5}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.5.2

Fatore $2 t^{5}$ de $42 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.5.3

Fatore $2 t^{5}$ de $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (21)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.6

Fatore $- 1$ de $- 5 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.7

Reescreva $21$ como $- 1 (- 21)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.8

Fatore $- 1$ de $- (5 t^{8}) - 1 (- 21)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.9

Reescreva $- (5 t^{8} - 21)$ como $- 1 (5 t^{8} - 21)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

Etapa 8.11

Reordene os fatores em $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$