Cálculo Exemplos

$\ln (x - 2) < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (x - 2) = 0$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x - 2)} = e^{0}$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (x - 2) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 2$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $x - 2 = e^{0}$ .

$x - 2 = e^{0}$

Etapa 2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x - 2 = 1$

Etapa 2.3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.3.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 1 + 2$

Etapa 2.3.3.2

Some $1$ e $2$ .

$x = 3$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\ln (x - 2)$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x - 2)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 2 > 0$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$x > 2$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(2, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\ln ((0) - 2) < 0$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

False

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\ln ((2.5) - 2) < 0$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $- 0.69314718$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\ln ((6) - 2) < 0$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $1.38629436$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 3$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < x < 3$

Notação de intervalo:

$(2, 3)$

Etapa 8