Cálculo Exemplos

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $2 x - 1$ por $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{3}$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.2.2.4

Divida $B (x + 1)$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.6.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{3}$ e $x + 1$ .

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Etapa 1.6.5.1

Fatore $x + 1$ de $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 1.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

Etapa 1.6.5.2.4

Divida $C {(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.6.6

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

Etapa 1.6.7

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Etapa 1.6.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Etapa 1.6.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 1.6.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.6.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 1.6.8.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 1.6.8.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Etapa 1.6.8.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

Etapa 1.6.8.2

Some $x$ e $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 1.6.9

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

Etapa 1.6.10

Simplifique.

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Etapa 1.6.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.10.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

Etapa 1.7.2

Mova $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

Etapa 1.7.3

Reordene $B x$ e $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = B + 2 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A + B + C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $2 = B + 2 C$ por $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $B + 2 (0)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $B$ e $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 1 = A + B + C$ por $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Etapa 3.2.4

Simplifique $- 1 = A + B + 0$ .

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Etapa 3.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.1.1

Remova os parênteses.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.2.1

Some $A + B$ e $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

Etapa 3.3

Reescreva a equação como $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 1 = A + B$ por $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Etapa 3.5

Resolva $A$ em $- 1 = A + 2$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$