Cálculo Exemplos

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Etapa 1.6.6

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Etapa 1.7

Mova $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 2 A + B$ por $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 2 B$ e $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = - B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = - 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$