Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Etapa 1.3

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 3) (x^{2} + 9)$ .

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 9$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.6.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 9)$ por $1$ .

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7.3

Mova $9$ para a esquerda de $A$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 9$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B x + C) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Etapa 1.7.5

Expanda $(B x + C) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.7.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Etapa 1.7.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Etapa 1.7.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Etapa 1.7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.6.1.1

Mova $x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Etapa 1.7.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Etapa 1.7.6.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $B x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Etapa 1.7.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $C$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Mova $B$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Etapa 1.8.2

Mova $9 A$ .

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 3 B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 9 A - 3 C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 9 A - 3 C$ por $- B$ .

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $0 = - 3 B + C$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 3 B + C = 0$ .

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

Etapa 3.3.2

Some $3 B$ aos dois lados da equação.

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $3 B$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $0 = - 9 B - 3 C$ por $3 B$ .

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 9 B - 3 (3 B)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.4.2.1.2

Subtraia $9 B$ de $- 9 B$ .

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $0 = - 18 B$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- 18 B = 0$ .

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- 18 B = 0$ por $- 18$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- 18 B = 0$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Divida $0$ por $- 18$ .

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 3 B$ por $0$ .

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $0$ .

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

Etapa 3.6.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$A = 0, C = 0, B = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Some $(0) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$