Cálculo Exemplos

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Etapa 3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Expanda $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ movendo $- (x^{2} + y^{2})$ para fora do logaritmo.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Etapa 3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Etapa 3.4

Multiplique $- x^{2} - y^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Etapa 4

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Etapa 5

Divida cada termo em $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (z)$ como $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Etapa 5.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Etapa 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Etapa 8

Defina o argumento em $\ln (z)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$z > 0$

Etapa 9

Defina o radicando em $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Etapa 10

Some $x^{2}$ aos dois lados da desigualdade.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Etapa 11

O domínio consiste em todos os valores de $z$ que tornam a expressão definida.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$