Cálculo Exemplos

$\frac{- 4 s^{2} + s + 1}{s (s^{2} + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $s (s^{2} + 1)$ .

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $s$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $s^{2} + 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.4.2

Divida $- 4 s^{2} + s + 1$ por $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $s$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (s^{2} + 1)$ por $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A (s^{2} + 1) + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $s^{2} + 1$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Etapa 1.5.4.2

Divida $(B s + C) (s)$ por $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + (B s + C) (s)$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s \cdot s + C s$

Etapa 1.5.6

Multiplique $s$ por $s$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.1

Mova $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B (s \cdot s) + C s$

Etapa 1.5.6.2

Multiplique $s$ por $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s$

Etapa 1.6

Mova $A$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + B s^{2} + C s + A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $s^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $s$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $s$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = A + B$

$1 = A$

Etapa 3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = A + B$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 4 = A + B$ por $1$ .

$- 4 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 1$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

Etapa 3.4

Resolva $B$ em $- 4 = 1 + B$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = - 4$ .

$1 + B = - 4$

$A = 1$

$C = 1$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 4 - 1$

$A = 1$

$C = 1$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 5 A = 1 C = 1$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 5, A = 1, C = 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{s} + \frac{- 5 s + 1}{s^{2} + 1}$