Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{2 x} {(1 - 4 x)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Etapa 1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Etapa 1.3

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{3}] + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 4 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.7

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 11

Combine ${(1 - 4 x)}^{3}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 12

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13

Para escrever $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14

Combine $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Some $1$ e $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{1}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x^{1} + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Simplifique.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 23.1

Mova $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Multiplique $2^{- \frac{1}{2}}$ por $2$ .

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Etapa 23.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.1.1

Fatore ${(1 - 4 x)}^{2}$ de $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Etapa 24.1.1.1

Fatore ${(1 - 4 x)}^{2}$ de $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.1.1.2

Fatore ${(1 - 4 x)}^{2}$ de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.1.1.3

Fatore ${(1 - 4 x)}^{2}$ de ${(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x + 1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.1.2

Subtraia $4 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 28 x + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2

Fatore $- 1$ de $- 28 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) - 1 (- 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4

Fatore $- 1$ de $- (28 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.5

Reescreva $- (28 x - 1)$ como $- 1 (28 x - 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 1 (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (28 x - 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$