Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $π (x - 1)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Etapa 2.2.1.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$π x - π \geq 0$

Etapa 2.4

Some $π$ aos dois lados da desigualdade.

$π x \geq π$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $π x \geq π$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $π x \geq π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x \geq \frac{π}{π}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x \geq 1$

Etapa 2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$π x - π = π - 0$

Etapa 2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 2.7.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$π x - π = π$

Etapa 2.7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.7.2.1

Some $π$ aos dois lados da equação.

$π x = π + π$

Etapa 2.7.2.2

Some $π$ e $π$ .

$π x = 2 π$

Etapa 2.7.3

Divida cada termo em $π x = 2 π$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.7.3.1

Divida cada termo em $π x = 2 π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Etapa 2.7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Etapa 2.7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Etapa 2.7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{π}$

Etapa 2.7.3.3.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$x = 2$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\sin (π (x - 1))$ .

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Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| π |}$

Etapa 2.8.3

$π$ é aproximadamente $3.14159265$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 2.8.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 2.8.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.9

O período da função $\sin (π (x - 1))$ é $2$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2$ radianos nas duas direções.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$x = 1 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Etapa 2.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.12.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 2.12.1.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Etapa 2.12.1.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.12.2

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 2.12.2.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Etapa 2.12.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.12.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

Etapa 2.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 - x^{2} \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 4$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Etapa 4.4

Simplifique a equação.

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Etapa 4.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique $\sqrt{4}$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 2 |$

Etapa 4.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$| x | \leq 2$

Etapa 4.5

Escreva $| x | \leq 2$ em partes.

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Etapa 4.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 4.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 2$

Etapa 4.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 4.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 2$

Etapa 4.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 4.6

Encontre a intersecção de $x \leq 2$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Etapa 4.7

Resolva $- x \leq 2$ quando $x < 0$ .

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Etapa 4.7.1

Divida cada termo em $- x \leq 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 2$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Etapa 4.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Etapa 4.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Etapa 4.7.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.7.1.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2$

Etapa 4.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 2$ e $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Etapa 4.8

Encontre a união das soluções.

$- 2 \leq x \leq 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Etapa 6