Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$x > 1$

Etapa 2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.6.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

Etapa 2.6.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.6.2

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.6.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

Etapa 2.6.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.6.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 1$ ou $x > 1$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Etapa 4