Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 5

Some $0$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Combine os termos opostos em $1 (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Etapa 6.2.1.1

Subtraia $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ de $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + 0}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $1 (\sec (x) \tan (x))$ e $0$ .

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $\sec (x) \tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$