Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x^{3} - 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1] - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + 0) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $24 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) + (- (8 x^{3}) - - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 24 x \cdot x^{2} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x^{1}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cdot 24 x^{2 + 1} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$\frac{48 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.5

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x^{3} \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.6

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.7

Multiplique $- - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 7.4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $16 x^{3}$ de $48 x^{3}$ .

$\frac{32 x^{3} - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $32 x^{3} - 24 x^{2} + 2$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $2$ de $32 x^{3}$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.2

Fatore $2$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.4

Fatore $2$ de $2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.5

Fatore $2$ de $2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2} + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$