Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} \tan (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} \tan (x)] - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} \tan (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 \tan (x) x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 7

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x)) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \sec (x) x^{2} \sec^{2} (x) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1.2.1

Mova $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2.2

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ .

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Etapa 8.2.1.2.2.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sec (x)}^{2 + 1} x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $- 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Etapa 8.2.1.5.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.5.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.2

Reordene os fatores em $3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Fatore $3 x \sec (x)$ de $3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $3 x \sec (x)$ de $3 x^{2} \sec^{3} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore $3 x \sec (x)$ de $6 x \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Fatore $3 x \sec (x)$ de $- 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Fatore $3 x \sec (x)$ de $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x))$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.5

Fatore $3 x \sec (x)$ de $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.2

Mova $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.3

Fatore $x$ de $x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.4

Fatore $x$ de $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.5

Fatore $x$ de $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{3 x \sec (x) (x \cdot 1 + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $\sec (x)$ de $3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$