Cálculo Exemplos

$F (x) = \frac{x^{3} + 27}{x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + 27$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 27 \cdot 1$ .

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Etapa 3.4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2

Multiplique $- 27$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$