Cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 \cdot 1) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $2 x + 2 - 2 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$