Cálculo Exemplos

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $36$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} + 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $4$ de $144$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Reordene $- x^{2}$ e $6^{2}$ .

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 6$ e $b = x$ .

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$