Cálculo Exemplos

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x - 16$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $8$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Mova $8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

Etapa 5.5

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{2} + 32 x$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

Etapa 5.5.2

Fatore $8 x$ de $32 x$ .

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $8 x$ de $8 x (- x) + 8 x (4)$ .

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $8 x (- x + 4)$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

Etapa 5.8

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

Etapa 5.10

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

Etapa 5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$