Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (3 \sin (x))$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 \sin (x))] - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) (3 \frac{d}{d x} [\sin (x)])) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cdot \cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Reordene os fatores de $3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x) \cos (3 \sin (x)) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Reordene os termos.

$\frac{3 \cos (x) \cos (3 \sin (x)) \sin (x) - \cos (x) \sin (3 \sin (x))}{\sin^{2} (x)}$