Cálculo Exemplos

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 1$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.2

Some $4$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

Etapa 6.2

Some $10 x$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.3

Multiplique $10$ por $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.7

Some $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

Etapa 7.3.8

Multiplique $10$ por $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

Etapa 7.3.9

Some $20 x^{2}$ e $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$60 x^{2} + 30 x - 4$