Cálculo Exemplos

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.2

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1

Mova $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.2.3

Some $3$ e $3$ .

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1

Mova $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.4.3

Some $2$ e $4$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Etapa 5.2.6

Subtraia $9 x^{6}$ de $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$