Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} e^{x} - 1 \cdot 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Reordene os fatores em $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Fatore $x$ de $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $x$ de $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $x$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 4.4.1.3

Fatore $x$ de $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{x^{4}}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $x$ de $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}}$