Cálculo Exemplos

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ é $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ , em que $f (w) = w^{2} + 1$ e $g (w) = w^{2} - w - 6$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{2} + 1$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $1$ em relação a $w$ é $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $2 w$ e $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{2} - w - 6$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d w} [- w]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- w$ em relação a $w$ é $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- 6$ em relação a $w$ é $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $2 w - 1$ e $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $w^{2}$ por $w$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Mova $w$ .

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $w$ por $w^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.2.1

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $w$ por $w$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Mova $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Multiplique $w$ por $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8

Expanda $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.2

Multiplique $w^{2}$ por $w$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.2.1

Mova $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.2.2

Multiplique $w$ por $w^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.2.2.1

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.4

Multiplique $- w^{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.4.2

Multiplique $w^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Combine os termos opostos em $2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Subtraia $2 w^{3}$ de $2 w^{3}$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Some $- 2 w^{2} - 12 w$ e $0$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Some $- 2 w^{2}$ e $w^{2}$ .

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $2 w$ de $- 12 w$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $w^{2} - w - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 5.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $(w - 3) (w + 2)$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- w^{2}$ .

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 14 w$ .

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- (w^{2}) - (14 w)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.10

Reescreva $- (w^{2} + 14 w - 1)$ como $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ .

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Etapa 5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$