Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 8$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 8) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 16 x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 16 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 16}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x - 16) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 16$ como igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x = 16$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 16) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 16$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2}}{x - 8}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $0$ por $- 8$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 16$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $16$ por $x$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$\frac{256}{8}$

Etapa 4.2.2.3

Divida $256$ por $8$ .

$32$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 8$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $8$ por $x$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (16, 32)$

Etapa 5