Cálculo Exemplos

$\sqrt[15]{7 x + 5}$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra do produto. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[15]{7 x + 5}$ como ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ e $g (x) = 7 x + 5$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{15}}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 5$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 7.2

Subtraia $15$ de $1$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{15}$ e ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ .

$\frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 8.3

Mova ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 10

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 12

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 13

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + 0)$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

Etapa 14.2

Combine $\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ e $7$ .

$\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$