Cálculo Exemplos

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ e $g (x) = y + 8 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 8 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Etapa 2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Etapa 2.3

Como $8 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Etapa 2.4

Some $0$ e $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Etapa 2.6

Como $\frac{1}{y^{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{y^{2}}$ em relação a $x$ é $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Etapa 2.7

Como $- \frac{2}{y^{4}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{y^{4}}$ em relação a $x$ é $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

Etapa 2.8

Some $0$ e $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $0$ .

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3.3

Multiplique $0$ por $\frac{2}{y^{4}}$ .

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $0$ .

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y$ por $0$ .

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Etapa 3.3.6

Multiplique $0$ por $8$ .

$0 + 0 + 0 y^{3}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $0$ por $y^{3}$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 3.3.8

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 3.3.9

Some $0$ e $0$ .

$0$