Cálculo Exemplos

$7 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x^{2}$ e $g (x) = {(6 x + 8)}^{4}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 8)}^{4}] + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 6 x + 8$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x + 8$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x + 8$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $6$ e $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Etapa 3.7

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (7 (2 x))$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $7$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (14 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $24$ por $7$ .

$168 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + {(6 x + 8)}^{4} (14 x)$

Etapa 4.2

Mova $14$ para a esquerda de ${(6 x + 8)}^{4}$ .

$168 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 14 \cdot {(6 x + 8)}^{4} x$

Etapa 4.3

Fatore $14 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $168 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 14 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $14 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $168 x^{2} {(6 x + 8)}^{3}$ .

$14 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 14 {(6 x + 8)}^{4} x$

Etapa 4.3.2

Fatore $14 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $14 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

$14 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$

Etapa 4.3.3

Fatore $14 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $14 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$ .

$14 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x + 6 x + 8)$

Etapa 4.4

Some $12 x$ e $6 x$ .

$14 x {(6 x + 8)}^{3} (18 x + 8)$