Cálculo Exemplos

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x + 7$ e $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

Etapa 4.2

Some $4$ e $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.3

Multiplique $3$ por $7$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

Etapa 5.3.6

Some $12 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$