Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $6 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$6 x = 12$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $12$ por $6$ .

$x = 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 6 (0) - 12$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 6 (4) - 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$f'' (4) = 24 - 12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $12$ de $24$ .

$f'' (4) = 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7